第二讲函数、多项式、方程一、知识扩展1. 函数方程：含有未知函数的等式. 1) 函数方程的解法：代换法；待定余数法；迭代法；柯西法.2) 柯西方程：一个定义在有理数集上的实值函数对一切有理数，都有.则这里. 2. 凸函数与琴生不等式： 1) 设为定义在内的函数，对，都有. 则称为内的下凸函数. （一般凸函数指下凸函数） 2) 如何判断下凸函数 若中，为下凸. （若中，为上凹.） 3) 对内的凸函数，有. （不等号反向，得到凹函数及凹函数的琴生不等式）. 3. 一元三次方程的韦达定理：设一元三次方程的三个根分别为，则有.用待定系数法即可得到. 4. . 整系数多项式的根.1) 首项系数为 1 的整系数多项式有理根必是整数根.2) 整系数多项式的整数根，必是常数项的 约 数.二、例题解析（一）函数性质例 1：（2010 上海交大）函数的反函数为 例 2：（2008 北京大学）书籍函数求：例 3：（2007 江苏数学竞赛）1已 知， 且. 则 的值有（ ）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 无数个例 4：（学生完成，2007 江西联赛）设，又记.则 A. B. C. D. 练习：1. 求函数的最大值.2. 设，且满足，求（二）函数与方程例 5：（2009 复旦大学）定义在上的函数满足 则 例 6：（2010 上海交大）若函数 求的解析式.练习：4. 解方程：.例 7：（2006 上海交大）设，解关于 的方程.（三）函数与不等式例 8：（2010 南开大学）求证：例 9：（2009 清华）设.求证：.（四）函数、多项式与方程例 10：（2008 上海交大）设的三个根分别为，且是不全为 0的有理数，求的值.2例 11（2014 华约）4. （1）证明的反函数为 （2）若的反函数是证明：为奇函数.例 12（2014 北约）8. 已知实系数二次函数与满足了和都有双重实根，如果已知有两个不同的实根，求证：没有实根.3
