第二讲函数、多项式、方程一、知识扩展1
函数方程：含有未知函数的等式
1) 函数方程的解法：代换法；待定余数法；迭代法；柯西法
2) 柯西方程：一个定义在有理数集上的实值函数对一切有理数，都有
凸函数与琴生不等式： 1) 设为定义在内的函数，对，都有
则称为内的下凸函数
（一般凸函数指下凸函数） 2) 如何判断下凸函数 若中，为下凸
（若中，为上凹
） 3) 对内的凸函数，有
（不等号反向，得到凹函数及凹函数的琴生不等式）
一元三次方程的韦达定理：设一元三次方程的三个根分别为，则有
用待定系数法即可得到
整系数多项式的根
1) 首项系数为 1 的整系数多项式有理根必是整数根
2) 整系数多项式的整数根，必是常数项的 约 数
二、例题解析（一）函数性质例 1：（2010 上海交大）函数的反函数为 例 2：（2008 北京大学）书籍函数求：例 3：（2007 江苏数学竞赛）1已 知， 且
则 的值有（ ）A
无数个例 4：（学生完成，2007 江西联赛）设，又记
求函数的最大值
设，且满足，求（二）函数与方程例 5：（2009 复旦大学）定义在上的函数满足 则 例 6：（2010 上海交大）若函数 求的解析式
例 7：（2006 上海交大）设，解关于 的方程
（三）函数与不等式例 8：（2010 南开大学）求证：例 9：（2009 清华）设
（四）函数、多项式与方程例 10：（2008 上海交大）设的三个根分别为，且是不全为 0的有理数，求的值
2例 11（2014 华约）4
（1）证明的反函数为 （2）若的反函数是证明：为奇函数
例 12（2014 北约）8
已知实系数二次函数与满足了和都有双重实根，如果已知有
