基本不等式【考纲要求】1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式解决最大（小）值问题.3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】 【考点梳理】考点一：两个重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。基本不等式重要不等式最大（小）值问题基本不等式基本不等式的应用扩充不等式绝对值不等式柯西不等式（3）可以变形为：，可以变形为：.3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点二、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点三、几个常见的不等式1），当且仅当 a=b 时取“=”号。2），当且仅当 a=b 时取“=”号。3）；特别地：；4） 5）；6）；7）要点四、绝对值不等式的性质 1.；2.；要点五、柯西不等式1. 二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数 k，使时，等号成立。（2）代数形式：①若 a、b、c、d 都是实数，则，当且仅当 ac=bd 时，等号成立；②若 a、b、c、d 都是正实数，则，当且仅当 ac=bd 时，等号成立；③若 a、b、c、d 都是实数，则，当且仅当 ac=bd 时，等号成立；要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数 k，使...
