上海交通大学 2025 年工程硕士模拟试题 1 参考答案试题名称: 高等数学 ( 含线性代数 ) 注：本试题共五大题，22 小题，满分 100 分一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1. 2.3. 4. 的收敛半径为 35. 二、 选择题(每小题 3 分，共 15 分)6. D7. D8. C9 D10. C三、计算题(一)(每小题 6 分, 共 36 分)11.解 12.解 设13. 解 14. 求微分方程在原点处与直线相切的特解.由题意得初始条件: 特征方程为原方程, 设特解为将特解代入方程经比较得故方程的通解为① ②将代入①, 代入②得故所求特解为(另外, 也可设为的特解, 显然, 设为的特解, 可解得, . 因此, )15. 计算二重积分, 其中 D 是由直线和曲线所围成的闭区域.解 16. 将展开成的幂级数, 并求收敛域.解四、计算题(二)(每小题 6 分, 共 24 分)17. 设矩阵 X 满足 求矩阵 X .解矩阵方程可化简为, 若矩阵(A - B)可逆, 则故18. 设讨论取何值时方程组有无穷多组解, 并求出通解.解当时方程组有有无穷多组解, 这时增广矩阵变为方程组的通解为(k 为任意常数)19. 设 A 为三阶矩阵, 已知|A| = 5, 求 .解20. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1,1,-1, 为特征值 1 对应的特征向量, 为特征值-1 对应的特征向量, (1) A 是否能相似于对角矩阵? 说明理由.(2) 求 An, n 为正整数.解(1) A 能相似于对角矩阵. 由于 A 是 3 阶矩阵, 且与特征值 1 对应 A 有两个线性无关的特征向量, 因此 A 有 3 个线性无关的特征向量, 所以 A 能相似于对角矩阵.(2) 令, 且故五、证明题(每小题 5 分, 共 10 分)21. 设在[0,1]连续, 且证明:方程在[0,1]内只有一个根.证令, 则 F(x)在[0,1]连续, 由于由零点定理, F(x)在(0,1)内至少有一个零点;又 F(x)在(0,1)可导,且,即 F(x)在(0,1)内单调递增故 F(x)在(0,1) 内至多有一个零点, 即方程在[0,1]内只有一个根.22. 设为 n 维列向量组, 它们线性无关, A 为 n 阶可逆矩阵, 证明: 也线性无关.证(反证法) 设线性相关, 即存在不全为零的 m 个数使由于矩阵 A 可逆, 故, 即线性相关, 矛盾.
