在职硕士GCT考试上海交通大学高等数学讲义—交大数学模拟试卷1

上海交通大学 2025 年工程硕士模拟试题 1试题名称: 高等数学 ( 含线性代数 ) 注：本试题共五大题，22 小题，满分 100 分一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1. 当时， 与为同价无穷小, 则 n = ________.2. 设则________________.3. ________.4. 的收敛半径为__________.5. 设与矩阵等价, 则__________二、 选择题(每小题 3 分，共 15 分)6. 设 f (x) 在内, 则 f (x) 在内( ). A 单调减少B 单调增加 C 先减后增D A,B,C 都可能7. 下列选项中正确的是( ). A B C f (x) 在[a,b]连续且则在 [a,b]上 f (x) = 0D f (x) 在[a,b]连续, 且则至少存在一点使8. 在内方程( ).A 无实根B 有且有一根C 有且仅有两根D 无穷多个根9. 已知, 则|A|中 x 的一次项的系数为( ). A 1B -1 C -22D 2210. 设矩阵 A ,B 都是 n 阶初等矩阵, 则下列结论中正确的是( ). A AB 是初等矩阵B A + B 是初等矩阵C AB 是可逆矩阵 D A + B 是可逆矩阵三、计算题(一)(每小题 6 分, 共 36 分)11. 计算12. 设求 f (x).13. 设 其中 f 具有二阶连续偏导数, g 具有二阶导数, 求14. 求微分方程在原点处与直线相切的特解.15. 计算二重积分, 其中 D 是由直线和曲线所围成的闭区域.16. 将展开成的幂级数, 并求收敛域.四、计算题(二)(每小题 6 分, 共 24 分)17. 设矩阵 X 满足 求矩阵 X .18. 设讨论取何值时方程组有无穷多组解, 并求出通解.19. 设 A 为三阶矩阵, 已知|A| = 5, 求 .20. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1,1,-1, 为特征值 1 对应的特征向量, 为特征值-1 对应的特征向量, (1) A 是否能相似于对角矩阵? 说明理由.(2) 求 An, n 为正整数.五、证明题(每小题 5 分, 共 10 分)21. 设在[0,1]连续, 且证明:方程在[0,1]内只有一个根.22. 设为 n 维列向量组, 它们线性无关, A 为 n 阶可逆矩阵, 证明: 也线性无关..