听课随笔第十一课时 函数的奇偶性（2）【学习导航】 学习要求 1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．【精典范例】一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例 1 ： 已 知 y=f(x) 是 奇 函 数 ， 它 在(0，+∞)上是增函数，且 f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设 x1－x2>0因为 y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以 f(－x2)f(x1)>0于是 F(x1) －F(x2)= －所以 F(x)=在(－∞，0)上是减函数。【证明】设，则， 在上是增函数，∴， 是奇函数∴，，∴， ∴， ∴在上也是增函数．说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．二．利用函数奇偶性求函数解析式：例 2：已知是定义域为的奇函数，当x>0 时，f(x)=x|x－2|，求 x<0 时，f(x)的解析式．解：设 x<0，则－x>0 且满足表达式 f(x)=x|x－2|所以 f(－x)= －x|－x－2|=－x|x+2|又 f(x)是奇函数，有 f(－x)= －f(x)所以－f(x)= －x|x+2|所以 f(x)=x|x+2|故当 x<0 时F(x)表达式为 f(x)=x|x+2|.3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若 f(m－1)+f(2m－1)>0，求实数 m 的取值范围．解：因为 f(m－1)+f(2m－1)>0所以 f(m－1)> －f(2m－1)因为 f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数所以 f(m－1)>f(1－2m)所以所以f(a2－a+1)D．与 a 的取值无关2. 定 义 在上 的 奇 函 数，则常数 ０ ， ０ ；3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数 a 的范围。解：定义域是 即 又 是奇函数 在上是增函数 即 解之得 故 a 的取值范围是思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系 若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．追踪训...
