第二轮第 8讲 常用数学方法

第 8 讲 高考中常用数学的方法------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例 1．已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A)(B)(C)5(D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得： 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=62-11=25 ∴ ,应选 C.例 2．设 F1 和 F2 为双曲线的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则 ΔF1PF2的面积是( ). (A)1(B)(C)2(D)分析及解：欲求(1),而由已知能得到什么呢？由∠F1PF2=90°,得(2),又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,故∴ ,∴ 选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例 3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为,已知点 P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为, ,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成： (1),故只需求出 a 可求解.设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则|PQ|= (2), 点 Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ|2表示为变量 y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有(y≥a 或 y≤-a).二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 y≥a 或 y≤-a,因此,需对 a≤4 与 a>4分类讨论.(1)当 a≤4 时,如图(1)可知函数在 y=4 处取得最小值,∴令,得 a2=4∴所求双曲线方程为.(2)当 a>4 时,如图(2)可知函数在 y=a 处取得最小值,∴令,得 a2=49,∴所求双曲线方程为.注：此题是利用待定系...