递推数列通项求解方法举隅

递推数列通项求解方法举隅类型一：（）思路 1（递推法）：………。思路 2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。例 1 已知数列满足且，求数列的通项公式。解：方法 1（递推法）：………。方法 2（构造法）：设，即， 数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。类型二： 思路 1（递推法）：…。思路 2（叠加法）：，依次类推有：、用心 爱心 专心、…、，将各式叠加并整理得，即。例 2 已知，，求。解：方法 1（递推法）：………。方法 2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，。类型三： 思路 1（递推法）：……。思路 2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠乘并整理得…，即…。例 3 已知，，求。解：方法 1（递推法）：…。方法 2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、用心 爱心 专心，将各式叠乘并整理得…，即…。类型四： 思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、 为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例 4 已知、,,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。类型五： （）思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。例 5 已知，，求。用心 爱心 专心解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。类型六： （且）思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例 6 已知，，求。解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、、…、，各式叠加得，即。类型七： （）思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例 7 已知，，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项， 为公比的等比数列，即，因而用心 爱心 专心得。类型八：（）思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例 8 已知，，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即， 数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。类型九： （、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数...