函数的奇偶性与周期性【考点梳理】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．【考点突破】考点一、函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－2x；(2)f(x)＝(x＋1)；(3) f(x)＝＋；(4)f(x)＝[解析] (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．∴该函数为奇函数
(2)由≥0 可得函数的定义域为(－1,1]． 函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数
(3)由得 x2＝3，解得 x＝±，即函数 f(x)的定义域为{－，}，从而 f(x)＝＋＝0
因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数
(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当 x＞0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x＜0 时，－x＞0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)；当 x＜0 时，f(x)＝x2－x，则当 x＞0 时，－x＜0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数
【类题通法】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤
