函数的奇偶性与周期性【考点梳理】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．【考点突破】考点一、函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－2x；(2)f(x)＝(x＋1)；(3) f(x)＝＋；(4)f(x)＝[解析] (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．∴该函数为奇函数.(2)由≥0 可得函数的定义域为(－1,1]． 函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数.(3)由得 x2＝3，解得 x＝±，即函数 f(x)的定义域为{－，}，从而 f(x)＝＋＝0.因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当 x＞0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x＜0 时，－x＞0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)；当 x＜0 时，f(x)＝x2－x，则当 x＞0 时，－x＜0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.【类题通法】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．【对点训练】1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x[答案] D[解析] 对于 A，定义域为 R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于 B，定义域为 R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于 C，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.2．判断函数 f(x)＝的奇偶性．[解析] 函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 x>0 时，－x<0，f(－x)...
