高考数学 考点突破——计数原理：二项式定理学案-人教版高三全册数学学案

二项式定理【考点梳理】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋…＋ C a n － r b r ＋…＋ C b n (n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝C a n － r b r ，它表示第 r ＋ 1 项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C，C，…，C.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C ＝ C 增减性二项式系数 C当 k＜(n∈N*)时，是递增的当 k＞(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当 n 为偶数时，中间的一项取得最大值当 n 为奇数时，中间的两项与取最大值3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2 n .(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n － 1 .【考点突破】考点一、展开式中的特定项或特定项的系数【例 1】(1)的展开式中，常数项是( )A．－ B． C．－ D．(2)已知的展开式中含 x 的项的系数为 30，则实数 a＝________.[答案] (1) D (2) －6[解析] (1)Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令 12－3r＝0，解得 r＝4，∴常数项为 C＝.(2)的展开式的通项为 Tr ＋ 1＝C()5 － r·＝(－a)rC·x.依题意，令 5－2r＝3，得 r＝1，∴(－a)1·C＝30，解得 a＝－6.【类题通法】1．求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第 k＋1 项，再由特定项的特点求出 k值即可．2．已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 k＋1项，由特定项得出 k 值，最后求出其参数．【对点训练】1．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).[答案] 10[解析] 由(2x＋)5得 Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令 5－＝3 得 r＝4，此时系数为 10.2．已知(1＋3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n＝________.[答案] 4[解析] (1＋3x)n的展开式的通项为 Tr＋1＝C(3x)r，令 r＝2，得 T3＝9Cx2，由题意得 9C＝54，解得 n＝4.【例 2】(1＋x)6的展开式中 x2的系数为( )A．15 B．20 C．30 D．35[答案] C[解析] 因为(1＋x)6的通项为 Cxr，所以(1＋x)6展开式中含 x2的项为 1·Cx2和·Cx4，因为 C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中 x2的系数为 30.【类题通法】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若 n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)...