立体几何中的向量方法（二）求空间角【考点梳理】1.异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则a 与 b 的夹角 βl1与 l2所成的角 θ范围(0，π)求法cos β＝cos θ＝|cos β|＝2.求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝| cos 〈 a ， n 〉 | ＝.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB，CD〉.(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝| cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角).【考点突破】考点一、利用空间向量求异面直线所成的角【例 1】在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A． B．C． D．[答案] C[ 解 析 ] 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 C － xyz ， 设 BC ＝ 2 ， 则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2)，故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值 cos θ＝＝＝.【类题通法】1．利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量 v1，v2；③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.2．两异面直线所成角的范围是 θ∈，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【对点训练】在正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小为( )A． B． C． D．[答案] C[ 解 析 ] 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 正 方 体 边 长 为 1 ， 则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).∴AC＝(1，1，0)，B1D＝(－1，1，－1)， AC·B1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC⊥B1D，∴AC 与 B1D 所成的角为.考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角【例 2】如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D 为 AC 的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面 ABB1...
