高考数学 考点突破——三角函数与解三角形：同角三角函数的基本关系与诱导公式学案-人教版高三全册数学学案

同角三角函数的基本关系与诱导公式【考点梳理】1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－ cos _αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－ tan _α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限【考点突破】考点一、同角三角函数基本关系式的应用【例 1】已知 α∈，sin α＝，则 tan α＝________.[答案] －[解析] α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.【类题通法】利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化．【对点训练】若 cos α＝，α∈，则 tan α＝________.[答案] －2[解析] 由已知得 sin α＝－＝－ ＝－，所以 tan α＝＝－2.【例 2】若 tan α＝，则 cos2α＋2sin 2α＝( )A． B． C．1 D．[答案] A[解析] tan α＝，则 cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝，故选 A.【类题通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值．【对点训练】已知 tan α＝2，则的值为________.[答案] 3[解析] 原式＝＝＝3.【例 3】已知 sin αcos α＝，且＜α＜，则 cos α－sin α 的值为( )A．－ B． C．－ D．[答案] B[解析] ＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0 且 cos α＞sin α，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.【类题通法】对于 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 这三个式子，知一可求二，若令 sin α＋cos α＝t，则 sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据 α 的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．【对点训练】已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈，则 sin θ－cos θ 的值为________.[答案] －[解析] sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.又 (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，又 θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.考点二、诱导公式的应用【例 4】(1)化简：＝________.(2)已知 cos＝，则 co...