高考数学 考点突破——三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理学案-人教版高三全册数学学案

正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.(R 为△ABC 外接圆半径)a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc ·cos _A；b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca ·cos _B；c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab ·cos _C变形形式(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝cos A＝；cos B＝；cos C＝解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2．三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边 a 上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例 1】(1)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则 C＝( )A． B． C． D．(2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2－b2＝bc，且 sin C＝2sin B，则角 A 的大小为________.[答案] (1) B (2) [解析] (1)由题意得 sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，则 sin C(sin A＋cos A)＝sin Csin＝0，因为 sin C≠0，所以 sin＝0，又因为 A∈(0，π)，所以 A＋＝π，所以 A＝.由正弦定理＝，得＝，则 sin C＝，得 C＝.(2)由 sin C＝2sin B，根据正弦定理得，c＝2b，代入 a2－b2＝bc 得，a2－b2＝6b2，即 a2＝7b2，由余弦定理得：cos A＝＝＝，∴A＝.【类题通法】在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝，cos C＝，a＝1，则 b＝________.[答案] [解析] 在△ABC 中， cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.又 ＝，∴b＝＝＝.2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a＝，c＝2，cos A＝，则 b＝( )A． B． C．2 D．3[答案] D[解析] 由余弦定理，得 5＝b2＋22－2×b×2×，解得 b＝3，故选 D.考点二...