高考数学 考点突破——随机变量及其分布：离散型随机变量的均值与方差学案-人教版高三全册数学学案

离散型随机变量的均值与方差【考点梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称 E(X)＝x1p1＋ x 2p2＋…＋ x ipi＋…＋ x npn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称 D(X)＝( x i－ E ( X )) 2 p i 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量 X 的标准差.2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE ( X ) ＋ b .(2)D(aX＋b)＝a 2 D ( X ) (a，b 为常数).3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p (1 － p ) .(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np (1 － p ) .【考点突破】考点一、离散型随机变量的均值与方差【例 1】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望 E(X)及方差 D(X).[解析] (1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”，A2 表示事件“日销售量低于 50个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为 X～B(3，0.6)，所以数学期望 E(X)＝3×0.6＝1.8，方差 D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.【类题通法】1．均值与方差的一般计算步骤(1)理解 X 的意义，写出 X 的所有可能取的值；(2)求 X 取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由均值的定义求出均值 E(X)，进一步由公式 D(X)＝2pi＝E(X2)－(E(X))2求出 D(X)．2．以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什...