高考数学 考点突破——圆锥曲线：椭圆学案-人教版高三全册数学学案

椭 圆【考点梳理】1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.① 当 2a>|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆；② 当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2；③ 当 2a<|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且 e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2【考点突破】考点一、椭圆的定义及其应用【例 1】(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆(2)椭圆＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为( )A．5 B．6 C．7 D．8[答案] (1) A (2) D[解析] (1)由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆．(2)由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 10－2＝8.【类题通法】1.椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足 2a＞|F1F2|.【对点训练】1．如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是( )A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆[答案] A[解析] 连接 QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点 A 在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.2．已知椭圆＋＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1的距离为 3，则 P 到另一个焦点 F2的距离为________．[答案] 7[解析] 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝10－|PF1|＝10－3＝7.考点二、椭圆的标准方程【例 2】(1)椭圆的焦点在 x 轴上，中心在原点，其上、下两个顶...