高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题11 数列的求和问题教学案 理（含解析）-人教版高三全册数学教学案

数列的求和问题【2019 年高考考纲解读】高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想．【重点、难点剖析】一、分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．二、错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． 三、裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．【高考题型示例】题型一、分组转化法求和例 1、若数列{an}的前 n 项和 Sn满足 Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．(1)证明数列{an}为等比数列，并求 an；(2)若 λ＝4，bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前 2n 项和 T2n.解析：(1) Sn＝2an－λ，当 n＝1 时，得 a1＝λ，当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－λ，∴Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}是以 λ 为首项，2 为公比的等比数列，∴an＝λ2n－1.(2) λ＝4，∴an＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝ ∴T2n＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n＋2n＋1＝(22＋24＋…＋22n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)＝＋＝＋n(n＋2)，∴T2n＝＋n2＋2n－.1【变式探究】在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3＝4，a3是 a2－2 与 a4的等差中项，若 an＋1＝2 nb (n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若数列满足 cn＝an＋1＋，求数列的前 n 项和 Sn.(2)由(1)得，cn＝an＋1＋＝2n＋＝2n＋，∴数列的前 n 项和Sn＝2＋22＋…＋2n＋＝＋＝2n＋1－2＋(n∈N*)．【感悟提升】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．【变式探究】已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前 4 项的和为 16，数列{bn}满足 b1＝4，b4＝88，且数列为等比数列(n∈N*)．(1)求数列{an}和的通项公式；(2)求数列{bn}的前 n 项和 S n.解 (1)设{an}的公差为 d，因为...