2．1.1 指数概念的推广[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4 的平方根为±2,8 的立方根为 2.2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，＝4.[预习导引]1．把 n(正整数)个实数 a 的连乘记作 a n ，当 a≠0 时有 a0＝1，a－n＝(n∈N)．2．整数指数幂的运算有下列规则：am·an＝a m ＋ n ，＝a m － n ，(am)n＝a mn ，(ab)n＝a n · b n ，()n＝(b≠0)．3．若一个(实)数 x 的 n 次方(n∈N，n≥2)等于 a，即 xn＝a，就说 x 是 a 的 n 次方根 .3 次方根也称为立方根．当 n 是奇数时，数 a 的 n 次方根记作.a＞0 时，＞0；a＝0 时，＝0；a＜0 时，＜0.当 n 是偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，它们互为相反数．其中正的 n 次方根叫作算术根，记作.也就是说，当 a＞0 时，如 xn＝a，那么 x＝±.规定：＝0，负数没有偶次方根．4．式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．一般地，有()n＝a.当 n为奇数时，＝a；当 n 为偶数时，＝|a|.5．当 a＞0，m，n∈N 且 n≥2 时，规定＝a，＝a.6．规定 0 的正分数指数幂为 0,0 没有负分数指数幂，在 a＞0 时，对于任意有理数 m，n 仍有公式am·an＝a m ＋ n ，＝a m － n ，(am)n＝a mn ，(ab)m＝a m · b m ，()m＝(b≠0)．7．对任意的正有理数 r 和正数 a，若 a＞1 则 a r ＞ 1 ；若 a＜1 则 a r ＜ 1 .根据负指数的意义和倒数的性质可得：对任意的负有理数 r 和正数 a，若 a＞1，则 a r ＜ 1 ；若 a＜1 则 a r ＞ 1 .8．任意正数 a 的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数 a，对任意实数 x，a 的 x次幂 ax都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对 实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：对任意的正实数 x 和正数 a，若 a＞1 则 a x ＞ 1 ；若 a＜1 则 a x ＜ 1 .对任意的负实数 x 和正数 a，若 a＞1 则 a x ＜ 1 ；若 a＜1 则 a x ＞ 1 .要点一 根式的运算例 1 求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)－，x∈(－3,3)．解 (1)＝－2.(2)＝＝.(3)＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，当－3＜x≤1 时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当 1＜x＜3 时，原式＝x－1－(x＋3)＝－...
