专题 12 立体几何中的向量方法【2018 年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)空间向量的坐标表示及坐标运算，属 B 级要求；(2)线线、线面、面面平行关系判定，属 B 级要求；(3)线线、线面、面面垂直的判定，属 B 级要求；(4)求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属 B 级要求．【重点、难点剖析】 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线 l 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2
(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3
(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0
2．空间角的计算(1)两条异面直线所成的角设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．(2)直线和平面所成的角如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝
(3)二面角如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面有α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ
3．用向量法证明平行、垂直问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面．(2)通过向量运算研究平行、垂直问题．(3)根据运算结果解释相关问题．4．空间向量求角
