高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.2 换底公式学案 湘教版必修1-湘教版高三必修1数学学案VIP专享

2.2.2 换底公式[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．[预习导引]1．对数的换底公式换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．最常用的换底公式是 logaN＝和 logaN＝.2．换底公式的两个重要推论(1)logambn＝logab.(2)logab＝.解决学生疑难点 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________要点一 利用换底公式求值或化简例 1 求解下列各题：(1)化简(log43＋log83)；(2)已知 log1227＝a，求 log616 的值．解 (1)方法一 原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.方法二 原式＝(log223＋log233)·log32＝·log32＝log23·log32＝.(2)方法一 由 log1227＝a，得＝a，∴lg 2＝lg 3.∴log616＝＝＝＝.方法二 由于 log1227＝log1233＝3log123＝a，∴log123＝.于是 log312＝，即 1＋2log32＝.因此 log32＝.而 log616＝4log62＝＝＝＝＝.故 log616＝.规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形 logambn＝logab.对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．跟踪演练 1 (1)求值：log89·log2732.(2)已知 log23＝a，log37＝b，试用 a，b 表示 log1456.解 (1)方法一 log89·log2732＝·＝·＝.方法二 log89·log2732＝log2332·log3325＝log23·log32＝.(2) log23＝a，∴log37＝＝＝b.∴log27＝ab.∴log1456＝＝＝＝.要点二 利用对数的换底公式证明等式例 2 已知 a，b，c 均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.证明 不妨设 3a＝4b＝6c＝m，则 m＞0 且 m≠1，于是 a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝.因此等式成立．规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结...