2.2.2 换底公式[学习目标] 1.能记住换底公式,并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题.[预习导引]1.对数的换底公式换底公式:logaN=(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0).最常用的换底公式是 logaN=和 logaN=.2.换底公式的两个重要推论(1)logambn=logab.(2)logab=.解决学生疑难点 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________要点一 利用换底公式求值或化简例 1 求解下列各题:(1)化简(log43+log83);(2)已知 log1227=a,求 log616 的值.解 (1)方法一 原式==·=·+·=+=.方法二 原式=(log223+log233)·log32=·log32=log23·log32=.(2)方法一 由 log1227=a,得=a,∴lg 2=lg 3.∴log616====.方法二 由于 log1227=log1233=3log123=a,∴log123=.于是 log312=,即 1+2log32=.因此 log32=.而 log616=4log62=====.故 log616=.规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时,通常有以下几种思路:一是先依照运算性质:利用对数的运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同一底.二是一次性地统一换为常用对数,再化简、通分、求值.三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式,然后利用变形 logambn=logab.对出现的对数进行化简,当底数和真数都较小时,容易发现它们之间的关系,然后再借助对数的运算法则求值.2.对于换底公式,除了正用以外,也要注意其逆用以及变形应用.跟踪演练 1 (1)求值:log89·log2732.(2)已知 log23=a,log37=b,试用 a,b 表示 log1456.解 (1)方法一 log89·log2732=·=·=.方法二 log89·log2732=log2332·log3325=log23·log32=.(2) log23=a,∴log37===b.∴log27=ab.∴log1456====.要点二 利用对数的换底公式证明等式例 2 已知 a,b,c 均为正数,3a=4b=6c,求证:+=.证明 不妨设 3a=4b=6c=m,则 m>0 且 m≠1,于是 a=log3m,b=log4m,c=log6m.则由换底公式可得=logm3,=logm4,=logm6,于是+=2logm3+logm4=logm(32×4)=logm36=2logm6=.因此等式成立.规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时,通常可以设出幂值的结...