专题 2 指数函数、对数函数和幂函数1．指数和对数(1)分数指数的定义：a＝(a＞0，m，n∈N，m≥2)，a＝(a＞0，m，n∈N，m≥2)．(2)如同减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算一样，对数运算是指数运算的逆运算．ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．由此可得到对数恒等式：alogaN＝N，b＝logaab.(3)对数换底公式 logaN＝(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0)的意义在于把各个不同底数的对数换成相同底数的对数，这样，一可以进行换算，二可以通过对数表求值．(4)指数和对数的运算法则有：am·an＝am＋n，logaM＋logaN＝loga(MN)，(am)n＝amn，logaMn＝nlogaM，am÷an＝am－n，logaM－logaN＝loga.(a∈R＋，m，n∈R)(M，N∈R＋，a＞0，a≠1)．2．指数函数、对数函数和幂函数(1)要熟记这三个函数在不同条件下的图象，并能熟练地由图象“读”出该函数的主要性质；(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线 y＝x 成轴对称图形．由图可“读”出指数函数和对数函数的主要性质：指数函数对数函数(1)定义域：R(1)定义域：R＋(2)值域：R＋(2)值域：R(3)过点(0,1)(3)过点(1,0)(4)a＞1 时为增函数，0＜a＜1 时为减函数(4)a＞1 时为增函数，0＜a＜1 时为减函数如果两个函数 y＝f(x)和 x＝g(x)描述的是同一个对应法则，则称这两个函数互为反函数．这时两者之间满足关系 g(f(x))＝x 和 f(g(y))＝y，并且它们的图象关于直线 y＝x 成轴对称．函数 f 叫作 g 的反函数，g 也叫作 f 的反函数．f 的定义域是 g 的值域，f 的值域是 g 的定义域，两者同为递增或递减．由上面反函数的定义，我们知道，指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)和同底数的对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)互为反函数．这给研究对数函数的图象和性质带来了方便．(3)幂函数 y＝xn在第一象限内的图象由幂指数的不同取值可分为三种走势．由下图，当 n＞0 时幂函数的主要性质是：① 恒过(0,0)，(1,1)两点；② 在区间[0，＋∞)上为增函数．当 n＜0 时幂函数的主要性质有：① 恒过点(1,1)；② 在区间(0，＋∞)上为递减函数；③ 图象走向和 x 轴、y 轴正向无限接近．3．函数与方程(1)实系数一元二次方程当 Δ＞0 时有两个不等实根；当 Δ＝0 时有两个相等实根；当 Δ＜0时无实数根．(2)方程 f(x)＝0 的解就是函数 y＝f(x)的图象和 x 轴交点的横坐标，也叫作函数的零点；方程 f(x)＝g(x)的解也就是两个函数 y＝f(x)和 y＝g(x)图象交点的横坐标．(3)...
