第 12 讲 函数与方程及函数的应用高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型 1：函数的零点2017 全国卷Ⅲ T12；2014 全国卷Ⅰ T121.考查频率较小，但要引起重视. 2.一般出现在第 12 题位置，难度较大.题型 2：恒成立、能成立(存在性)问题2013 全国卷Ⅰ T12；2013 全国卷Ⅱ T12题型 1 函数的零点■核心知识储备·1．零点存在性定理如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 且 有f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．2．函数的零点与方程根的关系函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标．■高考考法示例·【例 1】 (1)(2018·贵阳模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(x＋1)＝－f(x)，当 x∈时，f(x)＝4x－1，则函数 h(x)＝(x－1)f(x)－1 在区间上所有零点之和为( )A．4 B．3 C．2 D．1(2)(2018·青岛模拟)已知函数 f(x)＝若对函数 y＝f(x)－b，当 b∈(0,1)时总有三个零点，则 a 的取值范围为________．(1)A (2)(－∞，－2] [(1)由已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，又 f(x＋1)＝－f(x)，所以 f(x)的周期是 2，且 f(x＋1)＝f(－x)得 x＝是其中一条对称轴，又当 x∈时，f(x)＝4x－1，于是 f(x)图象如图所示，又函数 h(x)＝(x－1)f(x)－1 零点即为 y＝f(x)图象与 y＝的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1,0)对称，所以 x1＋x4＝2，x2＋x3＝2，所以零点之和为 x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选 A.(2)当 x≤0 时，f(x)＝ex，y＝f(x)－b 有一个零点，则当 x＞0 时，f(x)＝x2＋ax＋1，函数 y＝f(x)－b 应有两个零点，由 f(x)＝x2＋ax＋1＝2＋1－知.解得 a≤－2.][方法归纳]1．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令 f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值...
