高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学学案

第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] (教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(对应学生用书第 74 页)[基础知识填充]1．平面向量的数量积(1)向量的夹角① 定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图 431，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作 a 与 b 的夹角．图 431② 当 θ＝0°时，a 与 b 同向．当 θ＝180°时，a 与 b 反向．当 θ＝90°时，a 与 b 垂直．(2)向量的数量积定义：已知两个向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为 0 ，即 0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的射影|b|cos θ 的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上射影|a|cos θ 的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝cos θ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 |a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·[知识拓展] 两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )(2)由 a·b＝0，可得 a＝0 或 b＝0.( )(3)向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(4)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )(5)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝(...