专题 13 立体几何中的向量方法空间向量及其应用一般每年考一道大题，试题一般以多面体为载体，分步设问，既考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行→线面垂直与平行→面面垂直与平行→异面直线所成角、线面角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．考查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为特殊图形一如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主．1．共线向量与共面向量(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb.2．两个向量的数量积向量 a、b 的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．向量的数量积满足如下运算律： ①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 3．空间向量基本定理如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使 p＝xa＋yb＋zc.推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使OP＝xOA＋yOB＋zOC.4．空间向量平行与垂直的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.5．模、夹角和距离公式(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，cos〈a，b〉＝＝.(2)距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.(3)平面的法向量如果表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α.如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量．6．空间角的类型与范围(1)异面直线所成的角 θ：0<θ≤；(2)直线与平面所成的角 θ：0≤θ≤；(3)二面角 θ：0≤θ≤π.7．用向量求空间角与距离的方法(1)求空间角：设直线 l1、l2的方向向量分别为 a、b，平面 α、β 的法向量分别为 n、m.① 异面直线 l1与 l2所成的角为 θ，则 cosθ＝.② 直线 l1与平面 α 所成的角为 θ，则 sinθ＝.③ 平面 α 与平面 β 所成的二面角为 θ，则|cosθ|＝.(2)求空间距离① 直线到平...
