高考专题突破四 高考中的立体几何问题空间角的求法命题点 1 求线线角例 1 (2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线 AC1与 A1B 所成角的余弦值为________．答案 解析 方法一 令 M 为 AC 的中点，连接 MB，MA1，由题意知△ABC 是等边三角形，所以 BM⊥AC，同理，A1M⊥AC，因为平面 A1ACC1⊥平面 ABC，平面 A1ACC1∩平面 ABC＝AC，BM⊂平面 ABC，所以 BM⊥平面A1ACC1，因为 A1M⊂平面 A1ACC1，所以 BM⊥A1M，所以 AC，BM，A1M 两两垂直，以 M 为原点，MA，MB，MA1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设 AA1＝AC＝AB＝2，则 A(1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，)，C1(－2,0，)，所以AC1＝(－3,0，)，A1B＝(0，，－)，所以 cos〈AC1，A1B〉＝＝－，故异面直线 AC1与 A1B 所成角的余弦值为.方法二 如图，在平面 ABC，平面 A1B1C1中分别取点 D，D1，连接 BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形 ABDC，A1B1D1C1 为平行四边形，连接 DD1，BD1，则 AB＝C1D1，且 AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其补角为异面直线 AC1与 A1B 所成的角．连接 A1D1，过点 A1作 A1M⊥AC于点 M，连接 BM，设 AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得 AM＝1，BM＝，A1M＝，因为平面 A1ACC1⊥平面 ABC，平面 A1ACC1∩平面 ABC＝AC，A1M⊂平面 A1ACC1，所以 A1M⊥平面 ABC，又 BM⊂平面 ABC，所以 A1M⊥BM，所以 A1B＝，1在菱形 A1ACC1中，可求得 AC1＝2＝BD1，同理，在菱形 A1B1D1C1中，求得 A1D1＝2，所以 cos∠A1BD1＝＝＝，所以异面直线 AC1与 A1B 所成角的余弦值为.思维升华 (1)求异面直线所成角的思路：① 选好基底或建立空间直角坐标系．② 求出两直线的方向向量 v1，v2.③ 代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是 θ∈，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．跟踪训练 1 (2019·龙岩月考)若正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线 AB1与CD1所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析 正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1＝，以 D ...
