高考数学二轮复习 专题六 函数与导数、不等式规范答题示范学案 理-人教版高三全册数学学案

专题六 函数与导数、不等式规范答题示范【典例】 (12 分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－－2.[信息提取]看到讨论 f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数 f(x)进行求导.看到要证 f(x)≤－－2 成立，想到利用导数求函数的最大值.[规范解答](1)解 f(x)的定义域(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.……………………………………………………………………………………1 分若 a≥0 时，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，……………………………………………………………………………………2 分若 a<0 时，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故 f(x)在上单调递增，在上单调递减.……………………………………………………………………………………5 分(2)证明 由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－处取得最大值，最大值为 f ＝ln－1－，所以 f(x)≤－－2 等价于 ln－1－≤－－2，即 ln＋＋1≤0，……………………………………………………………………………………8 分设 g(x)＝ln x－x＋1，则 g′(x)＝－1.当 x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当 x＝1 时，g(x)取得最大值，最大值为 g(1)＝0.……………………………………………………………………………………10 分所以当 x>0 时，g(x)≤0，从而当 a<0 时，ln＋＋1≤0，即 f(x)≤－－2.……………………………………………………………………………………12 分[高考状元满分心得]得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求 g(x)的最大值和不等式性质的运用.得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出 f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在 x＝－处最值的判定，f(x)≤－－2 等价转化为 ln＋＋1≤0 等.得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导 f′(x)准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算 f(x)在 x＝－处的最大值.[解题程序]第一步：求函数 f(x)的导函数 f′(x)；第二步：分类讨论 f(x)的单调性；第三步：利用单调性，求 f(x)的最大值；第四步：根据要证的...