第九节 函数与方程[最新考纲] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b ) ＜ 0，那么，函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c也就是方程 f(x)＝0 的根．2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象与 x 轴的交点( x 1,0) ， ( x 2,0)( x 1,0)无交点零点个数210[常用结论]有关函数零点的 3 个结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 b2－4ac＜0 时没有零点．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√二、教材改编1．已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A．2 个 B．3 个C．4 个 D．5 个B [ f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数 f(x)在区间[1,6]内至少有 3 个零点．]2．函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C [由题意得 f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]3．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是________．1 [由已知得 f′(x)＝ex＋3＞0，所以 f(x)在 R 上单调...
