考向预测知识与技巧的梳理第 2 讲立体几何中的向量方法以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查．1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2．(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3．(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0．2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设 l，m 的夹角为 θ，则 cos θ＝＝．(2)线面夹角设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ，则(3)面面夹角设平面 α，β 的夹角为 θ，则02≤ ≤cos,a b02≤ ≤02≤ ≤热点一 利用空间向量证明平行、垂直关系【例 1】如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面 PAD；(3)平面 PCD⊥平面 PAD．证 明 依 题 意 ， 以 点A为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ( 如 图 ) ， 可 得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1，1，1)．(1)向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0．所以 BE⊥DC．(2)因为 AB⊥AD，又 PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，所以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD，所以向量AB＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量，而BE·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 BE⊥AB，又 BE⊄平面 PAD，所以 BE∥平面 PAD．(3)由(2)知平面 PAD 的法向量AB＝(1，0，0)，向量PD＝(0，2，－2)，DC＝(2，0，0)，设平面 PCD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则即不妨令 y＝1，可得 n＝(0，1，1)为平面 PCD 的一个法向量．且 n·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 n⊥AB．所以平面 PAD⊥平面 PCD．探究提高 1．利用向量法证明...
