高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系学案 理-人教版高三全册数学学案

第 2 讲 空间点、线、面的位置关系高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )解析 法一 对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ∥CD，所以 AB∥MQ，又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ.因此 A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行. 图(1) 图(2)法二 对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQ∥AB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行.A 项中直线 AB 与平面MNQ 不平行.答案 A2.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A. B.C. D.解析 如图，依题意，平面 α 与棱 BA，BC，BB1 所在直线所成角都相等，容易得到平面 AB1C 符合题意，进而所有平行于平面 AB1C的平面均符合题意.由对称性，知过正方体 ABCD－A1B1C1D1 中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形 EFGHIJ.正六边形 EFGHIJ 的边长为，将该正六边形分成 6 个边长为的正三角形.故其面积为 6××＝.答案 A3.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD；(2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥 P－ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积.(1)证明 ∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD. AB∥CD，∴AB⊥PD.又 PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面 PAD，∴AB⊥平面 PAD. AB⊂平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAD.(2)解 取 AD 的中点 E，连接 PE. PA＝PD，∴PE⊥AD.由(1)知，AB⊥平面 PAD，PE⊂平面 PAD，故 AB⊥PE，又 AB∩AD＝A，可得 PE⊥平面 ABCD.设 AB＝x，则由已知可得 AD＝x，PE＝x，故四棱锥 P－ABCD 的体积VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3.由题设得 x3＝，故 x＝2.从而 PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2，可得四棱锥 P－ABCD ...