第 2 讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅰ卷)设 x，y，z 为正数，且 2x＝3y＝5z，则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z解析 令 t＝2x＝3y＝5z， x，y，z 为正数，∴t>1.则 x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y.又 2x－5z＝－＝＝<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.答案 D2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则 a＝( )A.－ B. C. D.1解析 f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令 t＝x－1，则 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数 g(t)为偶函数. f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得 a＝.答案 C3.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为 y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即 x＝30 时，y 有最小值 240.答案 304.(2015·湖北卷)函数 f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.解析 f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数 f(x)的零点个数可转化为函数 y1＝sin 2x与 y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出 y1＝sin 2x 与 y2＝x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有 2 个交点，则 f(x)的零点个数为 2.答案 2考 点 整 合1.指数与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)loga＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝(注：a，b>0 且 a，b≠1，M>0，N>0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分 0
1两种情况，当 a>1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0
