7．7 立体几何中的向量方法[知识梳理]1．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥v2⇔v1＝λv2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l∥α 或l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔v⊥u⇔v·u＝0.(4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔u1∥u2⇔u1＝λu2.2．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔v∥u⇔v＝λu.(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.3．两条异面直线所成角的求法设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则l1与 l2所成的角 θa 与 b 的夹角 β范围(0，π)求法cosθ＝cosβ＝4．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝，φ 的取值范围是.5．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)．[诊断自测]1．概念思辨(1)若空间向量 a 平行于平面 α，则 a 所在直线与平面 α 平行．( )(2)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(4)若二面角 α－a－β 的两个半平面 α，β 的法向量 n1，n2所成角为 θ，则二面角α－a－β 的大小是 π－θ.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(选修 A2－1P111A 组 T1)在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，若 AB＝BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为( )A．60° B．75° C．90° D．105°答案 C解析 取 AC 的中点 D，建立如图所示的空间直角坐标系．设 AB＝a，则 B，C1，A，B1，...
