7．7 立体几何中的向量方法[知识梳理]1．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥v2⇔v1＝λv2
(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l∥α 或l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2
(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔v⊥u⇔v·u＝0
(4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔u1∥u2⇔u1＝λu2
2．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0
(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔v∥u⇔v＝λu
(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0
3．两条异面直线所成角的求法设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则l1与 l2所成的角 θa 与 b 的夹角 β范围(0，π)求法cosθ＝cosβ＝4．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝，φ 的取值范围是
5．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)．[诊断自测]
