第 3 讲 分段函数与绝对值函数 1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点考查内容，主要考查分类讨论思想及基本初等函数的性质，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行讨论；二是结合函数图象，将函数分成几个部分，然后寻求解题方法．1. 设函数 f(x)＝则 f(f(2))＝________．答案：－解析：f(2)＝，则 f(f(2))＝f ＝－.2. (2017·盐城模考)已知函数 f(x)＝若 f(0)＝3，则 f(a)＝ ________．答案：9解析：因为 f(0)＝3，所以 a－2＝3，即 a＝5，所以 f(a)＝f(5)＝9.3. (2018·启东中学)已知函数 f(x)＝x|x|，若 f(x0)＝4，则 x0＝________．解析：当 x≥0 时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即 x＝4，解得 x0＝2.当 x<0 时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x＝4，无解，所以 x0＝2.4. (2018·苏锡常镇调研一)已知函数 f(x)＝(e 是自然对数的底)．若函数 y＝f(x)的最小值是 4，则实数 a 的取值范围是________．答案：[e＋4，＋∞)解析：在 x≥1 时，f(x)min＝f(2)＝4.所以当 x<1 时，a－ex≥4 恒成立．转化为 a≥ex＋4 对 x<1 时恒成立．因为 ex＋4 在(－∞，1)上的值域为(4，e＋4)，所以 a≥e＋4., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数 f(x)＝x|x－2|.(1) 写出 f(x)的单调区间；(2) 解不等式 f(x)<3；(3) 设 a>0，求 f(x)在[0，a]上的最大值．解：(1) f(x)＝x|x－2|＝所以 f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)，单调减区间是[1，2]．(2) 因为 x|x－2|<3⇔或解得 2≤x＜3 或 x＜2，所以不等式 f(x)<3 的解集为{x|x<3}．(3) ① 当 0＜a＜1 时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时 f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当 1≤a≤2 时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时 f(x)在[0，a]上的最大值是 f(1)＝1；③ 当 a＞2 时，令 f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a2－2a－1>0，解得 a>1＋.(ⅰ) 当 2
1＋时，此时 f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是 f(a)＝a(a－2)．综上，当 01＋时，f(x)在[0，a]上的最大值是 a(a－2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价...
