第 4 讲 函数的零点问题 1. 函数的零点问题是高考的重点和难点内容，由于它和函数、方程有着密切的联系，所以需要我们熟悉函数的图象与性质，理解函数与方程等思想．2. 在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断在这个区间上零点的个数．1. 函数 f(x)＝lg x＋的零点是__________．答案：解析：因为 lg x＋＝0，所以 lg x＝－，所以 x＝10－＝.2. (2018·汇龙中学)函数 f(x)＝2x－－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是________．答案：(0，3)解析：因为 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得 f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得 0＜a＜3.3. (2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知函数 f(x)＝其中 m＞0，若函数 y＝f(f(x))－1 有 3 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是________．答案：(0，1)解析：令 f(f(x))＝1，得 f(x)＝或 f(x)＝m－1＜0，进一步得 x＝或 x＝m－＜0 或 x＝.因为已知 m＞0，所以只要 m＜1 即可，即得 0＜m＜1.4. (2018·南京师大附中)已知函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点 x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数 a，b 满足 2a＝3，3b＝2，则 n 的值是________．答案：－1解析：依题意得 a>1，00，f(－1)·f(0)<0.又 f(x)在 R 上单调递增，所以 x0∈(－1，0)，n＝－1., 一) 确定零点所在的区间, 1) 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx.若 f′(1)＝－a，3a>2c>2b，试问：导函数 f′(x)在区间(0，2)内是否有零点？并说明理由．解：因为 f′(x)＝ax2＋bx＋c，f′(1)＝－a，所以 a＋b＋c＝－a，即 3a＋2b＋2c＝0.因为 3a>2c>2b，所以 3a>0，2b<0，即 a>0，b<0. 于是 f′(1)＝－a<0，f′(0)＝c，f′(2)＝4a＋2b＋c＝4a－(3a＋2c)＋c＝a－c，① 当 c>0 时，因为 f′(0)＝c>0，f′(1)＝－a<0，则 f′(x)在区间(0，1)内至少有一个零点．② 当 c≤0 时，因为 f′(1)＝－a<0，f′(2)＝a－c>0，则 f′(x)在区间(1，2)内至少有一个零点．故导函数 f′(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．点评：确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法：(1) 定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当 f(a)·f(b)<0 时...
