第 5 讲 函数的综合应用 1. 函数是高中数学的主线，历年高考中，占的比分比较大，常常和导数知识结合进行综合考查，所以需要熟练掌握常见的函数模型．如二次函数、三次函数、指数和对数函数简单的分式函数等．2. 函数中的单调性问题、最值问题、恒成立问题、存在性问题、零点问题等是常见的题目题型，其中数形结合、分类讨论思想会在其中充分展现．1. (2018·如东中学)函数 y＝ ()x2的值域是________．答案：(0，1]解析：因为 x2≥0，所以 ≤1，即值域是(0，1]．2. (2018·通大附中)已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数 m 的取值范围是________． 答案：(0，＋∞)解析：因为 0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，所以 0.71.3＜1.30.7，所以 m＞0.3. (2018·苏州暑假测试)已知函数 f(x)＝x2＋abx＋a＋2b.若 f(0)＝4，则 f(1)的最大值是________．答案：7解析：由 f(0)＝4 得 a＋2b＝4，即 a＝4－2b.而 f(1)＝1＋ab＋4＝5＋ab＝5＋2b(2－b)≤7(当且仅当 b＝1，a＝2 时取等号)．4. (2018·宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为________m. 答案：20解析：设内接矩形另一边长为 y，则由相似三角形性质可得＝，解得 y＝40－x，所以矩形面积 S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当 x＝20 时，Smax＝400., 一) 函数性质的综合应用, 1) 已知函数 f(x)＝4x－2x，实数 s，t 满足 f(s)＋f(t)＝0，设 a＝2s＋2t，b＝2s＋t.(1) 当函数 f(x)的定义域为[－1，1]时，求 f(x)的值域；(2) 求函数关系式 b＝g(a)，并求函数 g(a)的定义域；(3) 求 8s＋8t的取值范围．解：(1) 若 x∈[－1，1]，令 m＝2x∈[，2]，f(x)＝l(m)＝m2－m＝(m－)2－在[，2]上为增函数，f(x)min＝l(m)min＝l()＝－，f(x)max＝l(m)max＝l(2)＝2，所以 f(x)的值域为[－，2]．(2) 实数 s，t 满足 f(s)＋f(t)＝0，则 4s－2s＋4t－2t＝0，则(2s＋2t)2－2×2s＋t－(2s＋2t)＝0，而 a＝2s＋2t，b＝2s＋t，所以 a2－2b－a＝0，b＝g(a)＝(a2－a)．由题意得 b>0，a>0，则(a2－a)>0，所以 a>1.又 2s＋2t≥2×()2，即 a≥，所以 a≤2，当且仅当 s＝t 时取得等号．综上所述，g(a)的定义域为(1，2]．(3) 8s ＋ 8t ＝ (2s ＋ 2t)(4s － 2s×2t ＋ 4t) ＝ a(a2 － 3b) ＝ a(a2 － a2 ＋ a) ＝ － a3 ＋a2，a∈(1，2]．令 h(a)＝－a3...
