第十一节 导数与函数的单调性[考纲传真] 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若 f ′(x)＞0，则 f(x)在这个区间上是增加的；(2)若 f ′(x)＜0，则 f(x)在这个区间上是减少的；(3)若 f ′(x)＝0，则 f(x)在这个区间上是常数函数．[常用结论]1．在某区间内 f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意 x∈(a，b)，都有 f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)，且 f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数 f(x)在区间(a，b)上递增，那么在区间(a，b)上一定有 f ′(x)>0．( )(2)如果函数在某个区间内恒有 f ′(x)＝0，则函数 f(x)在此区间上没有单调性．( )(3)f ′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充要条件．( )(4)若函数 f(x)在区间(a，b)上满足 f ′(x)≤0，则函数 f(x)在区间(a，b)上是减函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A [f ′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由 f ′(x)<0，得 0
