高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第4讲 二次函数与幂函数教学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第 4 讲 二次函数与幂函数一、知识梳理1．幂函数(1)定义：形如 y ＝ x α ( α ∈ R ) 的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α 为常数．常见的五类幂函数为 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质① 幂函数在(0，＋∞)上都有定义；② 当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③ 当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式① 一般式：f(x)＝ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0) ．② 顶点式：f(x)＝a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠0) ．③ 零点式：f(x)＝a ( x － x 1)( x － x 2)( a ≠0) ．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上递减；在上递增在上递增；在上递减对称性函数的图象关于 x＝－对称1常用结论1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当 α>0 时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当 α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．2．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是二、教材衍化1．已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点，则 k＋α＝________．解析：因为函数 f(x)＝k·xα是幂函数，所以 k＝1，又函数 f(x)的图象过点，所以＝，解得 α＝，则 k＋α＝.答案：2.如图是① y＝xa；② y＝xb；③ y＝xc在第一象限的图象，则 a，b，c 的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知 a<0，b>1，0