高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11节 第3课时 导数与函数的综合问题学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学学案

第 3 课时 导数与函数的综合问题(对应学生用书第 40 页)利用导数研究不等式的有关问题◎角度 1 证明不等式 (2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－－2.[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若 a≥0，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若 a<0，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故 f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－处取得最大值，最大值为 f＝ln－1－.所以 f(x)≤－－2 等价于 ln－1－≤－－2，即 ln＋＋1≤0.设 g(x)＝ln x－x＋1，则 g′(x)＝－1.当 x∈(0,1)时，g′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当 x＝1 时，g(x)取得最大值，最大值为 g(1)＝0.所以当 x>0 时，g(x)≤0.从而当 a<0 时，ln＋＋1≤0，即 f(x)≤－－2.◎角度 2 解决不等式恒(能)成立问题 (2018·广州综合测试(二))已知函数 f(x)＝－ax＋b 在点(e，f(e))处的切线方程为 y＝－ax＋2e.(1)求实数 b 的值；(2)若存在 x∈[e，e2]，满足 f(x)≤＋e，求实数 a 的取值范围. 【导学号：79140086】[解] (1)函数 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为 f(x)＝－ax＋b，所以 f′(x)＝－a.所以函数 f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为 y－(e－ae＋b)＝－a(x－e)，即 y＝－ax＋e＋b.已知函数 f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为 y＝－ax＋2e，比较可得 b＝e.所以实数 b 的值为 e.(2)f(x)≤＋e，即－ax＋e≤＋e，所以问题转化为 a≥－在[e，e2]上有解．令 h(x)＝－(x∈[e，e2])，则 h′(x)＝－＝＝.令 p(x)＝ln x－2，所以当 x∈[e，e2]时，有 p′(x)＝－＝＜0.所以函数 p(x)在区间[e，e2]上单调递减．所以 p(x)≤p(e)＝ln e－2＜0.所以 h′(x)＜0，即 h(x)在区间[e，e2]上单调递减．所以 h(x)≥h(e2)＝－＝－.所以实数 a 的取值范围为.[规律方法] 1.利用导数证明含“x”不等式方法，证明：fx＞gx.法一：移项，fx－gx＞0，构造函数 Fx＝fx－gx，转化证明 Fxmin＞0，利用导数研究 Fx单调性，用上定义域的端点值.法二：转化证明：fxmin＞gxmax.法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.2.利用导数解决...