第十二节 导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第 34 页) [基础知识填充]1．函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数 f(x)在点 x0及附近有定义，且在 x0两侧的单调性相反或导数值异号，则 x0为函数 f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．(2)极大值点与极小值点① 若先增后减(导数值先正后负)，则 x0为极大值点；② 若先减后增(导数值先负后正)，则 x0为极小值点．(3)求可导函数极值的步骤：① 求 f′(x)；② 求方程 f ′( x ) ＝ 0 的根；③ 检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤① 求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；② 将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[知识拓展]1．对于可导函数 f′(x)，f′(x)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．( )(2)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0为极值点的充要条件．( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图像如图2121 所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )图 2121A．1B．2 C．3 D．4A [导函数 f′(x)的图像与 x 轴的交点中，左侧图像在 x 轴下方，右侧图像在 x 轴上方的只有一个，所以 f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．已知某...
