第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.方法位置关系几何法代数法相交d0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d > r 1＋ r 2无解外切d ＝ r 1＋ r 2一组实数解相交| r 1－ r 2|< d < r 1＋ r 2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆 x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆 x2＋y2＝r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0 条；②内切：1 条；③相交：2 条；④外切：13 条；⑤相离：4 条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得到公共弦所在直线的方程．二、教材衍化1．若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数 a 的取值范围是________．解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案：[－3，1]2．圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦长为________．解析：由得两圆公共弦所在直线为 x－y＋2＝0.又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为 2.答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )(3)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件．( )(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√二、易错纠偏(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；(2)忽视切线斜率 k ...
