第 2 课时 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系1．若直线 y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是( )A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5 且 m≠1 D．m≥1 且 m≠5D [ 直线 y＝kx＋1 恒过定点(0,1)，∴要使直线 y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 总有公共点，只需＋≤1，即 m≥1，又 m≠5，故 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5，故选 D．]2．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解] 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当 Δ＞0，即－3＜m＜3 时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．(3)当 Δ＜0，即 m＜－3 或 m＞3 时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．[规律方法] 直线与椭圆位置关系的判定方法直线与椭圆方程联立，消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程时，设其判别式为 Δ，①Δ＞0⇔直线与椭圆相交；②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．弦长及中点弦问题►考法 1 中点弦问题【例 1】 (1)过椭圆＋＝1 内一点 P(3,1)，且被点 P 平分的弦所在直线的方程是( )A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0(2)已知椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( )A.＋＝1 B．＋＝1C.＋＝1 D．＋＝1(1)B (2)D [(1)设所求直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意得①－②得＋＝0，又 P(3,1)是 A，B 的中点．∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.故直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－3)，即 3x＋4y－13＝0，故选 B．(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得①－②得＋＝0.又 AB 的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴＝＝＝...
