高考数学复习 专题12 数列 等比数列及其前n项和备考策略-人教版高三全册数学素材

等比数列及其前 n 项和备考策略主标题：等比数列及其前 n 项和备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：等比数列，等比数列前 n 项和，等比数列的判断，备考策略难度：3重要程度：5内容考点一 等比数列的基本运算【例 1】（1）(2 015·东北三校联考)已知数列{an}满足 2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前 10 项和 S10为( )A.(210－1) B.(210＋1)C.(2－10－1) D.(2－10＋1)解析：选 C 2an＋1＋an＝0，∴＝－.又 a2＝1，∴a1＝－2，∴数列{an}是首项为－2，公比为 q＝－的等比数列，∴S10＝＝＝(2－10－1)，故选 C.（2）设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．解：由题设知 a1≠0，Sn＝，所以由②式得 1－q4＝5(1－q2)，即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.因为 q<1，所以 q＝－1，或 q＝－2.当 q＝－1 时，代入①式得 a1＝2，通项公式 an＝2×(－1)n－1；当 q＝－2 时，代入①式得 a1＝，通项公式 an＝×(－2)n－1.综上，an＝【备考策略】1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公比 q 是否等于 1 进行判断和讨论．考点二 等比数列的判定与证明【例 2】设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若对于任意的正整数 n 都有 Sn＝2an－3n，设 bn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求 an.证明 由 Sn＝2an－3n 对于任意的正整数都成立，得 Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得 Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，所以 an＋1＝2an＋1－2an－3，即 an＋1＝2an＋3，所以 an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2 对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．由已知得：S1＝2a1－3，即 a1＝2a1－3，所以 a1＝3，所以 b1＝a1＋3＝6，即 bn＝6·2n－1.故 an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.【备考策 略】 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明 a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．考点三 等比数列性质的应用【例 3】 (1)在等比数列中，已知 a1aa15＝243，则的值为( )A．3 B．9C．27 D．81(2)在正项等比数列{an}中，已知 a1a2a3...