第 45 讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离考纲要求考情分析命题趋势能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.2017·全国卷Ⅰ，182017·全国卷Ⅱ，192017·全国卷Ⅲ，192017·江苏卷，22用向量法证明线线、线面、面面的平行与垂直，用向量法求空间角和空间距离，用向量法解决探索性问题.分值：6～8 分1．两条异面直线所成角的求法设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则l1与 l2所成的角 θa 与 b 的夹角 β范围(0，π)求法cos θ＝____cos β＝2．直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成角为 θ，a 与n 的夹角为 β，则 sin θ＝|cos β|＝____.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ 为__〈 AB ， CD 〉 __.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝__|cos 〈 n 1， n 2〉 | __，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)．4．利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝____.(2)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( √ )2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则 l 与 α 所成的角为( A )A．30° B．60° C．120° D．150°解析 cos 〈m，n〉＝－，0°≤〈m，n〉≤180°，∴〈m，n〉＝120°，∴l 与 α 所成角为 90°－(180°－120°)＝30°，故选 A．3．正三棱柱(如右图，底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为__30°__.解析 取 A1B1的中点 E，连接 C1E，AE，由...
