专题 04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题一．方法综述利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．二．解题策略类型一 “比较法”构造差函数证明不等式【例 1】【2018 届广州模拟】已知函数为自然对数的底数，为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.(1)求的值及函数的极值；(2)证明：当【答案】见解析.【解析】 (2)证明：令由(1)得故在 R 上单调递增．所以当【指点迷津】当题目中给出简单的基本初等函数，例如，进而证明在某个取值范围内不等式成立时，可以类比作差法，构造函数，进而证明即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明的前提下，也可以类比作商法，构造函数进而证明【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学 2018 届考前七校联合体高考冲刺】已知函数，(Ⅰ) 设函数，讨论函数的单调性；（Ⅱ）求证：当时，【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（Ⅱ）要证，即证，令， 当时，，∴成立； 当时，， 当时，；当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴． ，∴，，∴，即成立，故原不等式成立．类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式【例 2】【山东省青岛市 2019 届 9 月期初调研】已知函数.(1)若上存在极值，求实数 m 的取值范围；(2)求证：当时，．【答案】（1）;（2）见解析【解析】（2）要证即证 令，则再令，则当时，，∴在上是增函数，∴∴，∴在上是增函数∴当时，∴ 令，则当时，，∴即在上是减函数∴当时，所以，即【指点迷津】当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为的形式，进而证明即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．【举一反三】【山东省实验中学 2019 届高三第一次诊断】已知函数（）．（1）若函数在上是减函数，求实数 的取值范围；（2）令，是否存在实数 ，当（ 为自然对数的底数）时，函数的最小值是 ，若存在，求出...
