第七节 立体几何中的向量方法2019 考纲考题考情1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 θ，则 cosφ＝|cosθ|＝(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)。2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝。3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈 AB ， CD 〉 。(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ＝〈 n 1， n 2〉或 π －〈 n 1， n 2〉。1．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角。2．直线与平面所成的角：在上述求法中要注意的是 sinφ＝，而不是 cosφ＝。3．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β 的法向量 n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补。一、走进教材1．(选修 2－1P104练习 2 改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A．45° B．135°C．45°或 135° D．90°解析 cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°。所以两平面所成二面角为 45°或180°－45°＝135°。答案 C2．(选修 2－1P112A 组 T6改编)在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( )A．－B．－C．D．解析 如图建立空间直角坐标系 D－xyz，设 DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，则AC＝(－1，1,0)，DE＝，设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ，则 cosθ＝|cos〈AC，DE〉|＝。故选 D。答案 D3．(选修 2－1P117A 组 T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为________。解析 以 C 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2，0,0)，C1(0,0,2)。点 C1在侧面 ABB1A1内的射影为点 C2。所以AC1＝(－2,0，2)，AC2＝，设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为 θ，则 cosθ＝＝＝。又 θ∈，所以 θ＝。答案 二...
