高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算教学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第 1 讲 平面向量的概念及线性运算 一、知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b ＋ a；结合律：(a＋b)＋c＝a ＋ ( b ＋ c ) 减法求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算a－b＝a＋(－b) 数乘求实数 λ 与向量 a的积的运算|λ a|＝| λ || a | ，当 λ>0 时，λa 与 a的方向相同；当 λ<0 时，λa 与 a的方向相反；当 λ＝0 时，λ a＝0λ(μ a)＝( λμ ) a ；(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ_a；λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b 3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b ＝ λ a ，则向量 b 与非零向量 a 共线．(2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数，使得 b＝λa.常用结论1．几个特殊向量(1)要注意 0 与 0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．(4)与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量和－.2．五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OP＝(OA＋OB)．(3)若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P 为△ABC 的重心．(4)在△ABC 中，AD，BE，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点 G(如图所示)，易知 G 为△ABC 的重心，则有如下结论：①GA＋GB＋GC＝0；②AG＝(AB＋AC)；③GD＝(GB＋GC)，GD＝(AB＋AC)．(5)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.二、教材衍化1．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用 a，b ...