第 3 讲 平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是向量 a 与 b 的夹角．(2)范围：设 θ 是向量 a 与 b 的夹角，则 0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若 θ＝0°，则 a 与 b 同向；若 θ＝180°，则 a 与 b 反向；若 θ＝90°，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.2．平面向量的数量积定义已知两个向量 a，b，它们的夹角为 θ，把| a||b |·cos __θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b投影| a |cos __θ 叫作向量 a 在 b 方向上的射影，| b |cos __θ 叫作向量 b 在 a 方向上的射影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影| b |cos __θ 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影| a |cos __θ 的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a ·( λ b ) ．(3)(a＋b)·c＝a·c ＋ b·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b 的充要条件a·b ＝ 0 x1x2＋ y 1y2＝ 0 常用结论1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.二、教材衍化1．已知 a·b＝－12，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|为( )A．12 B．6 C．3 D．3解析：选 B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.2．已知向量 a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k＝________．解析：因为 2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由 a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以 10＋2－k＝0，解得 k＝12.答案：123．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的射影为________．解析：由数量积的定义知，b 在 a 方向上的射影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.答案：－2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.( )(2)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量． ( )(3)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；...
