第二节 平面向量的基本定理及坐标表示[最新考纲] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．② 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.3．平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a≠0，b≠0，a，b 共线⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .[常用结论]1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ ＝ μ ＝ 0 .2．若 G 是△ABC 的重心，则GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0 ， AG ＝ ( AB ＋ AC ) ．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( )(2)在△ABC 中，向量AB，BC的夹角为∠ABC. ( )(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的． ( )(4)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√二、教材改编1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量 a－b＝( )A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)D [ a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＝，b＝∴a－b＝＝(－1,2)，故选 D.]2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为 ．(1,5) [设 D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]3．已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝ .(－7，－4) [根据题意得AB＝(3,1)，∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]4．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则＝ .－ [由向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由 ma＋nb 与 a－2b 共线，得＝，所以＝－.]考点 1...
