抽象函数问题的求解策略探究

抽象函数问题的求解策略探究湖南省 黄爱民 赵长春函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一局部性质或运算法那么。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特别关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。一、具体模型策略例 1．函数 f(x)对一切实数 xِ、y 满足 f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当 x＜0 时，f(x)＞1,那么当 x＞0 时 f(x)的取值范围是 。 解析：令 f(x)=ax(0＜a＜1)易得 0＜f〔x〕＜1。评析：借助特别函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。二、类比联想策略例 2．f(x)是定义在实数集Ｒ上的函数，且 f(x＋2)[1－f(x)]=1＋f(x)，f(－2)=1－,那么 f(2025)=〔 〕 分析：由条件知，f(x+2)= 〔*〕，又 f(－1)＝2－ ，逐步推出 f(2025)，显然比拟繁锁，假设将〔*〕式与进行类比，那么结构形式类似，而y=tanx 的周期为 π=4× .于是便产生一个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期为4×2＝8.于是猜想成立。∴f(2025)＝f(8×250＋6)＝f(6)＝f(－2＋8)＝－从而应选 B。评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过考察一些具体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性质探究出抽象函数的解题思路。三、运用函数性质策略例 3．定义在上的单调函数满足，且对任意的、都有〔1〕求证：为奇函数〔2〕假设对任意恒成立，求实数的取值范围。解：令,代入 得: ∴ 令代入上式得：，又∴ 即 对任意成立，∴是奇函数(2), 又在 R 上单调且，， 故是上的增函数，又由〔1〕知为奇函数∴恒成立，只需评析：函数的特征是通过其性质〔如奇偶性、单调性、周期性、特别点等〕反响出来的，抽象函数也是如此．只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易，常用的解题考法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归，④利用对称性数形结合；⑤借助特别点，列方程〔组〕等．四、赋值换元策略 例 4...