空间向量及二面角的向量求法专题

第四讲 空间向量一、定义：（1）已知，则（2）已知，则；；（3）数量积：注：；；（4）应用：已知=二、空间向量解决空间立体几何问题：1、位置关系判定：（1）线线平行：线线垂直：（2）线面平行：（其中为平面的法向量）线面垂直：（3）面面平行： 面面垂直：),,(121212zzyyxxAB),,(),,,(222111zyxbzyxa),,(212121zzyyxxba),,(212121zzyyxxba212121zzyyxxbacosa bab  22aa2()abab222||zyxa),,(),,,(222111zyxbzyxa1122/ /xyabbaxy21zz00212121zzyyxxbaba111222/ /xyzababxyz121212(cos0)02abxxyyzz/ /amlm/ /aml/ // / ,mnmn其中为 的法向量，为 的法向量,mnmn其中为 的法向量，为 的法向量2、求夹角：（1）线线角：，其中（2）线面角：，其中（3）二面角：，其中向量法求解二面角|||||||cos|baba[0,]2 |||||||cos|sinmama[0,]2 cos||| |m nm n[0, )θβlα1n2nθβlα2n1nA1B1C1D1z向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于讨论空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。一. 利用法向量求二面角的大小的原理:设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图 1）或 （图 2）图 1 图 2 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．二. 如何求平面的一个法向量:例题 1: 如图 3，在正方体 ABCD-A1B!C1D1中 G、E、F 分别为 AA1、AB、BC 的中点，求平面 GEF 的法向量。21,nn, l21,nn 略解：以 D 为原点建立右手空间直角坐标系，则 E(1，,0) 、F(，1,0) 、G(1,0，)由此得:设平面的法...