学业分层测评(七)(建议用时：45 分钟)[学业达标]一、填空题1．下列语句中正确的是________．(填序号)①l⊥α⇒l 与 α 相交；②m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α.【解析】 ①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线 m，n 的情况；③正确， l∥m，m∥n，∴l∥n，又 l⊥α，∴n⊥α.【答案】 ①③2．已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC⊥BD，则平行四边形 ABCD 一定是________．【解析】 如图， PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD. PC⊥BD，且 PA∩PC＝P，∴BD⊥平面 PAC，∴AC⊥BD.【答案】 菱形3．已知△ABC 在平面 α 内，∠A＝90°，DA⊥平面 α，则 AC 与 BD 的位置关系是________．【解析】 DA⊥α，∴DA⊥AC.又 AC⊥AB，AB∩DA＝A，∴AC⊥平面 ABD，∴AC⊥BD.【答案】 垂直4．如图 1266，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为 1，则 BC1与侧面 ACC1A1所成的角的大小是________．图 1266【解析】 取 AC 的中点 D，连结 DB，C1D，则可证得∠BC1D 即为 BC1与侧面 ACC1A1所成的角，在△ABC 中，易得 BD＝.在△DCC1中，易得 DC1＝，在 Rt△BC1D 中，tan∠BC1D＝＝，即∠BC1D＝30°.【答案】 30°5．对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：① 若 AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD；② 若 AB＝CD，AC＝BD，则 BC⊥AD；③ 若 AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD；④ 若 AB⊥CD，BD⊥AC，则 BC⊥AD.其中真命题的序号是________. 【导学号：60420255】【解析】 对于命题①，取 BC 的中点 E，连结 AE，DE，则 BC⊥AE，BC⊥DE，且 AE∩DE＝E，∴BC⊥平面 ADE. AD⊂平面 ADE，∴BC⊥AD.对于④，过 A 向平面 BCD 作垂线 AO，如图所示．连结 BO 与 CD 交于 E，则 CD⊥BE，同理 CF⊥BD，∴O 为△BCD 的重心，连结 DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，且 AO∩DO＝O，∴BC⊥平面 AOD，∴BC⊥AD.【答案】 ①④6．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面 ABC，PA＝8，则 P 到 BC 的距离是__________．【解析】 如图所示，作 PD⊥BC 于 D，连结 AD. PA⊥△ABC，∴PA⊥BC，且 PA∩PD＝P，∴BC⊥平面 PAD，∴AD⊥BC.在△ACD 中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在 Rt△PAD 中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.【答案】 47．如图 1267，直三棱柱 ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，M 为线段 BB1上的一动点，则直线 AM 与直...
