三角函数周期的几种求法

三角函数周期得几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期得问题,学生们往往对此类得问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期得几种求法。1.定义法:定义:一般地ｙ＝c,对于函数,假如存在一个不为零得常数,使得当取定义域内得每一个值时,ｆ(ｘ＋T)＝ｆ(ｘ)都成立,那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数;不为零得常数叫做这个函数得周期。对于一个周期函数来说,假如在所有得周期中存在着一个最小得正数,就把这个最小得正数叫做最小得正周期。下面我们谈到三角函数得周期时,一般指得就是三角函数折最小正周期。例 1.求函数 y=3sin()得周期解: y=f(x)=3sin()=3sin(+2 ) =3sin()=3sin[] = f(x+3 )这就就是说,当自变量由ｘ增加到 x+3 ,且必增加到 x+3 时,函数值重复出现。∴函数 y=3sin()得周期就是 T=3 。例 2:求 f(x)=sin6x+cos6x 得周期解 f(x+)= sin6(x+)+ cos6(x+) = cos6x +sin6x= f(x)∴f(x)=sin6x+cos6x 得周期为 T=例 3:求 f(x)=得周期解: f(x+ )==== f(x)∴求 f(x)=得周期:T=2.公式法:(1)假如所求周期函数可化为 y=Asin()、y=Acos()、ｙ＝tg()形成(其中 A、、 为常数,且 A 0、＞0、R),则可知道它们得周期分别就是:、、。例 4:求函数 y=1-sinx+cosx 得周期解: y=1-2( sinx-cosx) =1-2(cossinx-sin cosx) =1-2sin(x-)这里=1 ∴周期 T=2例 5:求:y=2(sinx-cos3x)-1解: y=2(sinx-cos3x)-1 =2sin(3x-)-1这里=3 ∴周期为 T=例 6:求 y=tg(1+)得周期解:这里=,∴周期为:T= /=(2)假如 f(x)就是二次或高次得形式得周期函数,可以把它化成sinx、cosx、tgx 得形式,再确定它得周期。例 7:求 f(x)=sinx·cosx 得周期解: f(x)=sinx·cosx=sin2x这里=3,∴f(x)=sinx·cosx 得周期为 T=例 8:求 f(x)=sin2x 得周期解: f(x)=sin2x=而 cos2x 得周期为 ,∴f(x)=sin2x 得周期为 T= 注:以上二题可以运用定义求出周期。例 9:求 y=sin6x+ cos6x 得周期解:原函数次数较高,应先进降次变形,再求周期。 y=sin6x+ cos6x =(sin2x+ cos2x)(sin4x-sin2x·cos2x+ cos4x) =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2x·cos2x =1-3 sin2x·cos2x =1- sin22x = + cos4x而 cos4x 得周期为 T==,∴y= sin6x+ cos6x 得周期为 T=例 10:函数 y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x 得周期。解:利用三角恒等式对函数进行恒等变形,再求周期。 y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos...