高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名:徐琛豪 班级:安全工程０ 2 班 学号:120255 ０２２ 1 完成时间:2013 年 6 月 2 日 二重积分【本章学习目标】⒈ 理解二重积分得概念与性质,了解二重积分得几何意义以及二重积分与定积分之间得联系,会用性质比较二重积分得大小,估量二重积分得取值范围。⒉ 领悟将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分得积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域得特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分得计算方法。⒊ 掌握曲顶柱体体积得求法,会求由曲面围成得空间区域得体积。1 二重积分得概念与性质1、二重积分定义为了更好地理解二重积分得定义,必须首先引入二重积分得两个“原型”,一个就就是几何得“原型”-曲顶柱体得体积如何计算,另一个就就是物理得“原型”—平面薄片得质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来得二重积分得定义就易于理解了。在二重积分得定义中,必须要特别注意其中得两个“任意”,一就就是将区域Ｄ成 n 个小区域得分法要任意,二就就是在每个小区域上得点得取法也要任意。有了这两个“任意”,假如所对应得积分和当各小区域得直径中得最大值时总有同一个极限,才能称二元函数在区域 D 上得二重积分存在。2、明确二重积分得几何意义。(1) 若在 D 上≥0,则表示以区域 D 为底,以为曲顶得曲顶柱体得体积。特别地,当＝1 时,表示平面区域Ｄ得面积。(２) 若在 D 上≤0,则上述曲顶柱体在 Oxy 面得下方,二重积分得值就就是负得,其绝对值为该曲顶柱体得体积(３)若在 D 得某些子区域上为正得,在 D 得另一些子区域上为负得,则表示在这些子区域上曲顶柱体体积得代数和(即在 O ｘｙ平面之上得曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下得曲顶柱体得体积)、３、二重积分得性质,即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分得大小,估值不等式常用于估量一个二重积分得取值范围,在用估值不等式对一个二重积分估值得时候,一般情形须按求函数在闭区域Ｄ上得最大值、最小值得方法求出其最大值与最小值,再应用估值不等式得到取值范围。【主要概念梳理】1、二重积分得定义 设二元函数 f(x,ｙ)在闭区域Ｄ上有定义且有界、分割 用任意两组曲线分割Ｄ成 n 个小区域同时用表示她们得面积,其中任意两小块和除边界外无公共点。既表示第 i 小块,又表示第ｉ小块得面积、近...
